Aleksandr Vasiutin föddes lördagen 4 mars 1995 i Sankt Petersburg. Han växte upp i Kalinskijdistriktet norr om floden Neva med sina föräldrar och äldre brodern Giorgij. Aleksandr spelade ungdomsfotboll i Smenaakademin och i Zenit Sankt Petersburgs akademi. Med Zenit spelade han bland annat två matcher i UEFA Youth League hösten 2013. Han stod i mål mot Atlético de Madrid hemma på Petrovskijstadion och mot Austria Wien borta på Franz-Horr-Stadion i Wien. Brodern Giorgij spelade också fotboll i ungdomsåren och var också målvakt.

Sommaren 2016 lånade Zenit ut Aleksandr Vasiutin till FC Lahti i den finska högstadivisionen Tipsligan och där spelade han till och med sommaren 2018 då hans kontrakt med Zenit gick ut. Hans nästa klubbadress blev Sarpsborg 08 i Eliteserien, där han bland annat stod i mål under deras gruppspelshöst i Europa League 2018. Han spelade alla sex matcher i Sarpsborg 08:s grupp med Beşiktaş JK, KRC Genk och Malmö FF samt fem kvalmöten dessförinnan. Sarpsborg 08 slutade fyra i gruppen med en vinst och två oavgjorda matcher.

Sommaren 2019 blev emellertid Zenit på nytt intresserade och han värvades tillbaka till Piter. Väl där fick han göra seniordebut för Zenits A-lag, men det blev enbart en cupmatch på hösten och två matcher i säsongsavslutningen av ryska Premjer-Liga 2019–20, som Zenit vann likväl som de vann cuptiteln.

Vasiutin anslöt till Djurgården på ett säsongslångt lån med köpoption från Zenit i februari 2021. Han debuterade för Djurgården i 4⁠–⁠1-vinsten över Kalmar FF i Svenska cupens gruppspel hemma på Tele2 arena lördagen 6 mars 2021.

Vasiutin debuterade i Allsvenskan när han startade i säsongspremiären borta mot IF Elfsborg söndagen 11 april 2021, en match som Djurgården vann med 2⁠–⁠0. I snögloppet på en öde Borås arena styrde Vasiutin i sin rosa målvaktsutstyrsel laget till en hållen nolla i debuten. I sitt sjunde allsvenska framträdande, derbyt mot Hammarby IF i mitten av maj, skadade han sig och var inte kurant förrän i slutet av oktober. Detta gjorde att han totalt spelade tio allsvenska matcher under sin första period i Djurgården.

Aleksandr Vasiutin återvände till Djurgården för en ny lånesejour säsongen 2022 från Zenit.