Joel Asoro föddes tisdagen 27 april 1999 i Stockholm. Han spelade ungdomsfotboll i IFK Haninge, i BP och i Sunderland FC. 2014 var Asoro, tillsammans med framtida blårandiga lagkamraten Hjalmar Ekdal och likaledes framtida djurgårdaren Felix Beijmo, med i BP:s U17-lag som gick till SM-final mot IF Elfsborg. Finalmatchen på Borås arena i oktober 2014 slutade 3⁠–⁠0 till Elfsborg. Sommaren 2015 lämnade Asoro BP och flyttade till Sunderland FC:s akademi.

Asoro blev uttagen i Sveriges U17-landslag till Europamästerskapet i Azerbajdzjan i maj 2016. Han spelade alla fyra matcher för laget som gick vidare från en grupp med Danmark, England och Frankrike till kvartsfinal. I kvartsfinalen väntade Nederländerna på Åttakilometersstadion i Baku och matchen slutade i en 0⁠–⁠1-förlust. Asoro gjorde två mål i turneringen, de båda i den inledande gruppspelsmatchen mot England på Azersun Arena som slutade 2⁠–⁠1.

2017 blev Asoro uttagen i Sveriges U21-landslag till Europamästerskapet i Polen. Med i truppen fanns även framtida blårandiga lagkamraten Jacob Une Larsson, dåvarande djurgårdarna Gustav Engvall och Kerim Mrabti samt tidigare djurgårdaren Simon Tibbling. I gruppen ingick även England, Polen och Slovakien och Asoros Sverige slutade trea däri. Asoro fick enbart speltid i den sista gruppspelsmatchen mot Slovakien; han byttes in i den 72:a matchminuten av 0⁠–⁠3-förlusten på Arena Lublin i Lublin.

Söndagen 21 augusti 2018 gjorde Asoro Premier Leaguedebut när han byttes in i den 81:a matchminuten i Sunderland FC:s match mot Middlesbrough FC på Stadium of Light. Det blev hans enda Premier Leagueframträdande i Sunderlandtröjan den säsongen, men han spelade även några matcher i FA-cupen och ligacupen. När Sunderland säsongen efter åkt ner i Championship fick han göra betydligt fler framträdanden, 26 matcher blev det. Sunderlands säsong slutade dock i nedflyttning även denna gång och sommaren 2018 flyttade han till Swansea City. Asoro spelade säsongen 2018–19 med Swansea City i Championship. Säsongen därefter lånades han ut till FC Groningen och ytterligare en säsong senare till Genoa CFC.

Joel Asoro anslöt till Djurgården från Swansea City i februari 2021. Han debuterade i 4⁠–⁠1-vinsten över Kalmar FF i Svenska cupens gruppspel hemma på Tele2 arena lördagen 6 mars 2021. Asoro debuterade i Allsvenskan söndagen 18 april 2021 när han byttes in i den 87:e matchminuten i 1⁠–⁠0-vinsten över IFK Norrköping hemma på Tele2 arena. Asoro gjorde sitt första mål för Djurgården när han satte 3⁠–⁠1-målet mot Hammarby IF i hemmaderbyt på Tele2 arena söndagen 12 september 2021 på en passning från Magnus Eriksson i matchen som slutade 4⁠–⁠1 till Djurgården. Asoro spelade 26 allsvenska matcher under sin debutsäsong, varav elva i startelvan, och gjorde tre mål.

Joels storasyster Abigail spelar basket och har representerat Sverige både på senior- och ungdomsnivå och spelade SM-final med Alvik Basket våren 2021. 2021–22 spelar hon för A3 Umeå i SBL.